{ "cells": [ { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### 2023年度計算機演習A・B\n", "\n", "# 第7回：関数の積分" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 1. 積分の概念\n", "\n", "### 1.1. 関数の定積分\n", "\n", "関数 $f:\\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$ と区間 $[a,b]\\subset\\mathbb{R}$ を考えます。\n", "\n", "このとき、関数 $f$ の区間 $[a,b]$ における**定積分（definite integral）**\n", "\n", "$$\n", "\\int_a^b f(x)\\,dx\n", "$$\n", "\n", "は、下図のように $x$-$y$ 平面において $y=f(x)$、$x$ 軸、$x=a$、$x=b$ によって囲まれる領域の符号付き面積を意味します。\n", "\n", "
" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "定積分の定義方法はリーマン積分やルベーグ積分など複数存在しますが、以下では**リーマン積分（Riemann integral）**の考え方について詳しく見ていきます。" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### 1.2. リーマン積分の考え方\n", "\n", "区間 $[a,b]$ を、\n", "\n", "$$\n", "a=x_0" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "特に、各 $t_i$ を小区間の左端に取る（すなわち $t_i=x_{i-1}$ である）場合のリーマン和を**左リーマン和**、小区間の右端に取る（すなわち $t_i=x_i$ である）場合のリーマン和を**右リーマン和**と呼びます。\n", "\n", "**関数 $f$ が単調増加であるならば、左リーマン和は求める面積の下界、右リーマン和は求める面積の上界を与えます。**\n", "\n", "$n\\to\\infty$ としたときに点付き分割の取り方によらずにリーマン和が一定の値に収束するとき、その極限の値を関数 $f$ の区間 $[a,b]$ におけるリーマン積分と呼びます。" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 2. 定積分の近似計算\n", "\n", "ここでは、上記の「単調増加関数に対する左リーマン和と右リーマン和の性質」を利用して、定積分の近似計算を行います。\n", "\n", "例として、関数 $f(x)=\\sqrt{x}+1$ の区間 $[0,1]$ における定積分を考えます。明らかに、$f$ は $[0,1]$ において単調増加です。\n", "\n", "まず、$f(x)$ を計算する関数`f(x)`および $f$ の $[0,1]$ におけるグラフを描画する関数`draw_f()`を定義します。" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "import math\n", "import matplotlib.pyplot as plt\n", "\n", "def f(x):\n", " return math.sqrt(x)+1\n", "\n", "def draw_f():\n", " x_list = []\n", " y_list = []\n", " for i in range(201):\n", " x = i/200\n", " x_list.append(x)\n", " y_list.append(f(x))\n", " plt.plot(x_list,y_list,\"k-\")\n", " #後の都合のため、plt.show()は関数定義に含めない\n", "\n", "draw_f() #関数draw_f()を呼び出してグラフを描画する\n", "plt.show()" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "次に、分割数 $1$ の等分割（すなわち、$[0,1]$ のまま）に関する左リーマン和と右リーマン和を考えます。\n", "\n", "このときの左リーマン和に対応する図は、次のようになります。" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "draw_f()\n", "plt.fill([0,1,1,0],[0,0,f(0),f(0)],\"r\",alpha=0.5)\n", "#点(0,0),(1,0),(1,f(0)),(0,f(0))で囲まれる領域を赤色（不透明度0.5）で塗りつぶす\n", "plt.show()" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "ここで、関数`plt.fill`は\n", "\n", "```\n", "plt.fill(x_list,y_list,色を表す文字列,alpha=不透明度)\n", "```\n", "\n", "のように使用し、x_listとy_listが表す複数の点によって囲まれる領域を指定の色と不透明度（0～1）で塗りつぶすことができます。ただし、点の順番には注意が必要であり、順番通りに線分で結んでできる領域の塗りつぶしになります。\n", "\n", "左リーマン和の値はこの赤色の領域の面積に等しいので、次のように求まります。" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "print(\"分割数1の等分割に関する左リーマン和の値は\",f(0)*1)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "右リーマン和に対応する図は、次のようになります。" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "draw_f()\n", "plt.fill([0,1,1,0],[0,0,f(1),f(1)],\"g\",alpha=0.5)\n", "#点(0,0),(1,0),(1,f(1)),(0,f(1))で囲まれる領域を緑色（不透明度0.5）で塗りつぶす\n", "plt.show()" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "右リーマン和の値はこの緑色の領域の面積に等しいので、次のように求まります。" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "print(\"分割数1の等分割に関する右リーマン和の値は\",f(1)*1)" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "同様にして、分割数 $2$ の等分割に関する左リーマン和と右リーマン和を考えると、次のようになります。" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "draw_f()\n", "plt.fill([0,1/2,1/2,0],[0,0,f(0),f(0)],\"r\",alpha=0.5)\n", "plt.fill([1/2,1,1,1/2],[0,0,f(1/2),f(1/2)],\"r\",alpha=0.5)\n", "plt.show()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "print(\"分割数2の等分割に関する左リーマン和の値は\",f(0)*(1/2)+f(1/2)*(1/2))" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "draw_f()\n", "plt.fill([0,1/2,1/2,0],[0,0,f(1/2),f(1/2)],\"g\",alpha=0.5)\n", "plt.fill([1/2,1,1,1/2],[0,0,f(1),f(1)],\"g\",alpha=0.5)\n", "plt.show()" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "print(\"分割数2の等分割に関する右リーマン和の値は\",f(1/2)*(1/2)+f(1)*(1/2))" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### 演習1\n", "\n", "関数 $f(x)=\\sqrt{x}+1$ に対して、区間 $[0,1]$ の分割数 $3$ の等分割に関する左リーマン和と右リーマン和を考えます。\n", "\n", "それぞれに対応する図を描画した上で値を求めるコードを書いてください。" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#演習1のコード\n", "import math\n", "import matplotlib.pyplot as plt\n", "\n", "def f(x):\n", " return math.sqrt(x)+1\n", "\n", "def draw_f():\n", " x_list = []\n", " y_list = []\n", " for i in range(201):\n", " x = i/200\n", " x_list.append(x)\n", " y_list.append(f(x))\n", " plt.plot(x_list,y_list,\"k-\")\n", "\n", "#ここに、コードを書く" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### 演習2\n", "\n", "関数 $f(x)=\\sqrt{x}+1$ に対して、区間 $[0,1]$ の分割数 $n$ の等分割に関する左リーマン和と右リーマン和を考えます。\n", "\n", "左リーマン和に対応する図を描画する関数`draw_left_RS(n)`、左リーマン和の値を返す関数`calc_left_RS(n)`、右リーマン和に対応する図を描画する関数`draw_right_RS(n)`、右リーマン和の値を返す関数`calc_right_RS(n)`を定義してください。\n", "\n", "$n=4$ の場合に、定義したそれぞれの関数を呼び出してください。" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#演習2のコード\n", "import math\n", "import matplotlib.pyplot as plt\n", "\n", "def f(x):\n", " return math.sqrt(x)+1\n", "\n", "def draw_f():\n", " x_list = []\n", " y_list = []\n", " for i in range(201):\n", " x = i/200\n", " x_list.append(x)\n", " y_list.append(f(x))\n", " plt.plot(x_list,y_list,\"k-\")\n", "\n", "def draw_left_RS(n):\n", " draw_f()\n", " #ここに、関数の処理を書く\n", " plt.show()\n", "\n", "def calc_left_RS(n):\n", " value = 0\n", " #ここに、関数の処理を書く\n", " return value\n", "\n", "def draw_right_RS(n):\n", " draw_f()\n", " #ここに、関数の処理を書く\n", " plt.show()\n", "\n", "def calc_right_RS(n):\n", " value = 0\n", " #ここに、関数の処理を書く\n", " return value\n", "\n", "n = 4\n", "draw_left_RS(n)\n", "print(\"分割数\",n,\"の等分割に関する左リーマン和の値は\",calc_left_RS(n))\n", "draw_right_RS(n)\n", "print(\"分割数\",n,\"の等分割に関する右リーマン和の値は\",calc_right_RS(n))" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "### 演習3（オプション）\n", "\n", "関数 $f(x)=\\sqrt{x}+1$ に対して、区間 $[0,1]$ の分割数 $n$ の等分割に関する左リーマン和と右リーマン和を考えます。\n", "\n", "右リーマン和と左リーマン和の差が $0.01$ より小さくなるような最小の $n$ を求めるコードを書いてください。\n", "\n", "また、定積分 $\\int_0^1 \\left(\\sqrt{x}+1\\right)\\,dx$ の値を手計算で求め、上記の $n$ に対する左リーマン和および右リーマン和の値と比較して考察してください。" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": null, "metadata": {}, "outputs": [], "source": [ "#演習3のコード" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "## 第7回レポート課題\n", "\n", "演習1～演習3に取り組んでください。" ] } ], "metadata": { "kernelspec": { "display_name": "Python 3", "language": "python", "name": "python3" }, "language_info": { "codemirror_mode": { "name": "ipython", "version": 3 }, "file_extension": ".py", "mimetype": "text/x-python", "name": "python", "nbconvert_exporter": "python", "pygments_lexer": "ipython3", "version": "3.8.10" } }, "nbformat": 4, "nbformat_minor": 4 }